基础代数学

群、环、域、模、线性都是代数结构.

代数结构是具有满足某种条件的代数运算的集合与该代数运算的关系（或结合体？）.代数结构中的元素可以是数、映射/算子/变换、运算等.

非空集合$A_1$和$A_2$的笛卡尔积: $A_1 \times A_2=\{(a_1, a_2, \cdots , a_n)|a_i \in A_i, i=1, 2, \cdots , n\}$
非空集合$A$上的（二元）代数运算: 映射$f: A \times A \to A$

群论

群$(G, \cdot)$: 定义有二元运算$\cdot$的非空集合$G$, 满足:

①二元运算$\cdot$满足结合律;
②（存在单位元）$\forall a \in G, \ \exists e \in G$, 有$a \cdot e=e \cdot a=a$;
③（存在逆元）$\forall a \in G, \ \exists b \in G$, 有$a \cdot b=b \cdot a=e$.

“非空集合$G$关于代数运算$\cdot$构成一个群”也记作群$(G, \cdot)$.

群所描述的对称性反映在经过群运算这一操作前后的可逆性（存在逆元）和不变性（存在单位元）。因而如果仅通过空间直觉来理解这种广义的对称性会遇到困难。

例：
原式 群运算 群元$a$ 群运算 群元$a^{-1}$ = 原式
原式 群运算 群元$e$ = 原式

1. 代数运算
2. 群
3. 子群；特殊线性群；由集合$S$生成的子群；生成元
4. 循环群
5. 正规子群、商群
6. 群的同构与群同态
7. 有限群

$\{e\}$和$G$是$G$的平凡子群.

两类重要的群：变换群、置换群

设非空集合$A$，称$A$到$A$的映射为$A$的变换；若该映射是双射，则该变换称一一变换；若集合$A$是有限集，则该一一变换称置换。

变换作为映射，它的合成运算称为变换的乘积。

范畴论：数学对象和态射
集合论：集合和映射
群：在同一个集合里面，群元和群运算；在两个集合之间，群和群同态（双射时是同构）

环论

域论

模论