理论力学_运动学

运动学部分

运动学的研究对象是点或物体（这里讨论刚体）的运动。

1 点的运动

点的运动学的研究方法：矢量法、直角坐标法、自然法

矢量法

作坐标原点$O$到动点$M$的矢量$\boldsymbol{r}$，$\boldsymbol{r}$称为动点$M$相对原点$O$的位置矢量，又称矢径。

位置矢量与位移矢量的区别：前者是欧氏空间中的元素/点，后者是向量（线性）空间中的元素。

⭐运动方程01-1：点的运动（矢量）

(1) 当点$M$运动时，矢径$\boldsymbol{r}$是时间$t$的单值连续函数，则有矢量表示的运动方程

$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$

(2) (3) 点的速度和加速度

$\boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}$

$\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\boldsymbol{v}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}$

速度矢端曲线（……）

直角坐标法

⭐运动方程01-2：点的运动（直角坐标）

(1) (2) (3) 矢径$r$、速度$v$、加速度$a$

$\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$

$\boldsymbol{v}=v_x\boldsymbol{i}+v_y\boldsymbol{j}+v_z\boldsymbol{k}$

$\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}$

(4) （直角坐标表示的）运动方程是一个参数方程，其中坐标$x$、$y$、$z$是参数$t$的函数：

$\left\{ \begin{array}{rcl} x=f_1(t)\\y=f_2(t)\\z=f_3(t) \end{array}\right.$

运动轨迹（/轨道）方程由运动方程中的参数$t$消去而得到，其不显含时间$t$，只包含坐标$x$、$y$、$z$。

消去$t$和对$t$积分的不同：能直接消去$t$的前提是，坐标各分量之间本身存在不依赖于$t$的关系；能对$t$积分消去$t$的前提是，表达式的级数和本身不显含$t$。

自然法（用弧坐标表示点的运动）

将曲线运动看作一维运动，则弧长可视为代数量$s$，称$s$为弧坐标。显然，弧坐标$s$是时间的单值连续函数，即$s=f(t)$。

注意：看公式

⭐运动方程01-3：点的运动（自然坐标/弧坐标）

自然坐标系的基矢量：$[\boldsymbol{e}_\mathrm{t}, \boldsymbol{e}_\mathrm{n}, \boldsymbol{e}_\mathrm{b}]$

(1) 弧坐标：

$s=f(t)$

(2) 速度：

$\boldsymbol{v}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{e}_\mathrm{t} \cdot v$

其中$\boldsymbol{e}_\mathrm{t}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}$称为切线基矢量，$v=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{d}t}$称为速率。注意，$\boldsymbol{e}_\mathrm{t}$和$v$均为时间$t$的函数。

速率$v$也作为速度矢量$\boldsymbol{v}$的模引入。

(3) 加速度：

$\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}+ v\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}$

$\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}+v\cdot v\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}+\frac{v^2}{\rho}\boldsymbol{e}_\mathrm{n}=\boldsymbol{a}_\mathrm{t}+\boldsymbol{a}_\mathrm{n}$

$\boldsymbol{e}_\mathrm{n}$称为主法线基矢量，$\boldsymbol{e}_\mathrm{n}=\rho \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}s}$，指向曲率中心（$\rho$为曲率半径）。
$\boldsymbol{e}_\mathrm{b}$称为副法线基矢量。三个基矢量的关系是

$\boldsymbol{e}_\mathrm{b}=\boldsymbol{e}_\mathrm{t} \times \boldsymbol{e}_\mathrm{n}$

切向加速度的大小$a_\mathrm{t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$，反映速度大小变化的快慢
法向加速度的大小$a_\mathrm{n}=\frac{v^2}{\rho}$，反映速度方向变化的快慢

合成运动

以上均为简单运动，即点直接相对一定参考系运动，中间没有参考系变换，也不可分解为更基本的简单运动（嵌套）。而在合成运动中，$\boldsymbol{r}$、$\boldsymbol{v}$、$\boldsymbol{a}$区分“相对”“牵连”“绝对”。

定参考系（定系）：（习惯上）以地球为参考体的坐标系
动参考系（动系）：以在定参考系中运动的物体为参考体的坐标系

绝对运动：$\boldsymbol{r}$、$\boldsymbol{v}$、$\boldsymbol{a}$，参考系为定系
相对运动：$\boldsymbol{r}'$、$\boldsymbol{v}_\mathrm{r}$、$\boldsymbol{a}_\mathrm{r}$，参考系为动系
牵连运动（transport motion）：$\boldsymbol{v}_\mathrm{e}$、$\boldsymbol{a}_\mathrm{e}$，参考系为定系

⭐运动方程02-1：定参考系和动参考系下的运动

(1) 定参考系（牵连/绝对运动）

定参考系的基矢量：$[\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}]$（常矢量）

矢径

$\boldsymbol{r} = [x, y, z]=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$

速度和加速度

$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}$

$\boldsymbol{a} = \frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}$

(2) 动参考系（相对运动）

动参考系的基矢量：$[\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$（是时间$t$的函数）
动参考系的运动（牵连运动）是刚体运动，有别于动点的相对运动或绝对运动。
牵连点：动点在动参考系上的坐标（点）。

动参考系中的矢径

$\boldsymbol{r}' = [x', y', z']=x'\boldsymbol{i}'+y'\boldsymbol{j}'+z'\boldsymbol{k}'=[x', y', z'] \cdot [\boldsymbol{i}', \boldsymbol{j}', \boldsymbol{k}']$

将$[\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$视为常矢量时，对$\boldsymbol{r}'$求一阶导和二阶导得到相对速度和相对加速度：

$\boldsymbol{v}_\mathrm{r}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'}{\mathrm{d}t} \cdot [\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$

$\boldsymbol{a}_\mathrm{r}=\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}'}{\mathrm{d}t^2} \cdot [\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$

将$[\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$视为时间$t$的函数时，对$\boldsymbol{r}'$求二阶导得到相对加速度和一部分科氏加速度：

$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_\mathrm{r}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{a}_\mathrm{r}+\boldsymbol{v}_\mathrm{r} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}']$

上式表明，$\boldsymbol{v}$、$\boldsymbol{v}_\mathrm{r}$和$\boldsymbol{v}_\mathrm{e}$遵循平行四边形法则，或者说，绝对速度总可以分解成相对速度和牵连速度两个速度分量。（即：速度平行四边形）

(3) 平面上，动参考系（相对坐标）和定参考系（绝对坐标）之间的坐标变换关系：

$\left\{ \begin{array}{rcl} x=x_{O'}+x'\cos \varphi-y'\sin \varphi\\y=y_{O'}+x'\sin \varphi+y'\cos \varphi \end{array}\right.$

⭐运动学方程02-2：点的合成运动（绝对运动）

(1) 点的速度合成定理

$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_\mathrm{e} + \boldsymbol{v}_\mathrm{r}$

(2) 点的加速度合成定理

$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}_\mathrm{e} + \boldsymbol{a}_\mathrm{r} + \boldsymbol{a}_\mathrm{C}$

为便于分析，可写成：

$\boldsymbol{a}_\mathrm{a}^\mathrm{t} + \boldsymbol{a}_\mathrm{a}^{\mathrm{n}}= \boldsymbol{a}_\mathrm{e}^\mathrm{t} + \boldsymbol{a}_\mathrm{e}^\mathrm{n} + \boldsymbol{a}_\mathrm{r}^\mathrm{t} + \boldsymbol{a}_\mathrm{r}^\mathrm{n} + \boldsymbol{a}_\mathrm{C}$

注意：此式为矢量和。
其中，科氏加速度$\boldsymbol{a}_\mathrm{C}=2(\boldsymbol{v}_\mathrm{r} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}'])=2\boldsymbol{\omega}_\mathrm{e} \times \boldsymbol{v}_\mathrm{r}$，是从定参考系上观察动点的相对加速度与真正的相对加速度之差，与从动参考系上观察动点的牵连加速度与真正的牵连加速度之差的总和。

特别地：
当牵连运动是平移时，$\boldsymbol{a}_\mathrm{C}=\boldsymbol{0}$
当牵连运动包含转动（如绕定轴转动）时，$\boldsymbol{a}_\mathrm{C}=2\boldsymbol{\omega}_\mathrm{e} \times \boldsymbol{v}_\mathrm{r} \neq \boldsymbol{0}$

科氏加速度$\boldsymbol{a}_\mathrm{C}$从哪里来？
这是由于，动参考系存在牵连运动，动参考系的三个基矢量$\boldsymbol{i}',\boldsymbol{j}',\boldsymbol{k}'$不是常矢量，而也是时间$t$的函数，求导的过程中作为两个函数的乘积处理，而不是函数乘以常数，因此，对相对速度$\boldsymbol{v}_\mathrm{r}$的求导结果除了“表面上”的加速度（相对加速度）$\boldsymbol{a}_\mathrm{r}$，还包括另一项（……）。

2 刚体的运动

刚体简单运动的运动学方程描述

平移

在物体内取一直线段，运动过程中该线段始终平行于最初位置，则称此运动为平行移动，简称平移。

整个刚体的运动规律$\Longleftrightarrow$该刚体上任一质点的运动规律
即：由刚体上任一质点的运动规律可直接得到该刚体上其他任一质点的运动规律。

在三维欧氏空间中，一个刚体有6个自由度。
三维欧氏空间中的刚体运动可表示为群$E(3)=SO(3) \ltimes T(3)$。其中，$T(3)$为平移群，$SO(3)$为绕原点的旋转群，$\ltimes$表示半直积运算。

刚体绕定轴的转动

（下文有时简称定轴转动）。

转角$\varphi$、角速度$\omega$、角加速度$\alpha$

以弧度（$\mathrm{rad}$）为单位的角速度与以转每分（$\mathrm{r/min}$）为单位的转速之间，有如下换算关系：

$\omega = \frac{2 \pi n}{60} = \frac{\pi n}{30}$

粗略计算中常取$\pi \approx 3$，则有$\omega \approx 0.1 n$。

⭐运动学方程03-1：平面中刚体绕定轴转动（就是刚体中任意一点绕轴的圆周运动）

(1) 转角和弧坐标

$\varphi=f(t)$

$s=R\varphi$

(2) 速度$\boldsymbol{v}$的大小

$v=R\omega$

方向：切向
法向速度为$\boldsymbol{0}$。
可见，线速度一定时，角速度与半径成反比。

(3) 切向加速度$\boldsymbol{a}_\mathrm{t}$和法向加速度$\boldsymbol{a}_\mathrm{n}$的大小

$a_\mathrm{t}=R \alpha$

$a_\mathrm{n} = R \omega^2$

全加速度$\boldsymbol{a}$的大小

$a=\sqrt{a_\mathrm{t}^2+a_\mathrm{n}^2}=R\sqrt{\alpha^2+\omega^4}$

方向正切

$\tan{\theta}=\frac{a_\mathrm{t}}{a_\mathrm{n}}=\frac{\alpha}{\omega^2}$

⭐运动学方程03-2：空间中刚体绕定轴转动

角速度矢$\boldsymbol{\omega}$：大小等于$\omega$的绝对值，方向沿轴向，从其末端向始端看则刚体逆时针转动。

(1) 速度$\boldsymbol{v}$、角速度矢$\boldsymbol{\omega}$、矢径$\boldsymbol{r}$之间满足矢量叉乘（楔积）关系：

$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}$

(2) 加速度、切向加速度、法向加速度：

$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} = \boldsymbol{a}_\mathrm{t} + \boldsymbol{a}_\mathrm{n}$

注：
任意运动的刚体中，所有点的$\omega$、$\alpha$相同
平移的刚体中，所有点的$\omega=0$、$\alpha=0$、$\boldsymbol{r}$相同、$\boldsymbol{v}$相同、$\boldsymbol{a}$相同
定轴转动的刚体中，所有点的$\omega$、$\alpha$相同、$\frac{a_\mathrm{t}}{a_\mathrm{n}}$相同，但$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{a}_\mathrm{t}$、$\boldsymbol{a}_\mathrm{n}$随半径$R$变化

刚体平面运动问题的求解方法

构成刚体的各点之间共享转角、角速度、角加速度

基点法求各点的速度和加速度

基点法：在刚体上假想地选取一个点，使得刚体的运动可以分解成随这个点的平移和绕这个点的转动。这个点称为基点。

瞬心法求各点的速度

$O$是两个质点的速度瞬心，意味着在这一瞬时两质点相当于一个绕定轴$O$旋转的刚体。